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書籍情報
「パート1…基礎理論」では，ベクトル空間から始めて現代関数解析学への自然な入門を目指す．「パート2…応用」では現代関数解析学の有効性を多くの分野で実証していく．前半で準備した線形関数解析学を微分方程式のいろいろな問題に応用しつつ，非線形問題にも到達することを目指す． |
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関数解析の基礎
∞次元の微積分
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| A5／296頁 定価（本体3800円＋税） 978-4-7536-0099-1
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| 堀内利郎（理学博士）／下村勝孝（博士（学術）） 著 |
 目 次 |
パート1…基礎理論
第1章 ベクトル空間からノルム空間へ
1. ベクトル空間／2. ベクトル空間の次元について／3. ノルム空間の導入／4. ノルム空間の位相について／5. バナッハ空間の導入／6. 連続線形写像／7. ベールのカテゴリー定理とその応用／8. ノルム空間の完備化／9. バナッハの不動点定理／10. 章末問題A
第2章 ルベーグ積分：A Quick Review
1. 可測関数／2. 測度的収束と測度的極限／3. 可測関数列の基本性質／4. 有界可測関数の積分／5. 可測集合／6. ルベーグ積分における基本定理／7. 章末問題A
第3章 ヒルベルト空間
1. イントロダクション／2. 内積空間におけるノルム／3. ヒルベルト空間の導入／4. 強収束と弱収束／5. ヒルベルト空間の正規直交基底／6. フーリエ三角級数展開／7. 直交射影とリースの表現定理／8. 章末問題A
第4章 ヒルベルト空間上の線形作用素
1. 線形作用素に関する基本的事項／2. 自己共役作用素／3. 逆作用素／4. 正値作用素／5. 射影作用素／6. コンパクト作用素／7. 固有値と固有ベクトル／8. スペクトル分解／9. 非有界作用素／10. 章末問題A
第5章 フーリエ変換とラプラス変換
1. フーリエ変換／2. L2(R)関数のフーリエ変換／3. ラプラス変換／4. ラプラス逆変換／5. ラプラス変換の常微分方程式への応用
パート2…応用
第6章 プロローグ：線形常微分方程式
1. フーリエ変換の線形常微分方程式への応用／2. 常微分作用素の境界値問題／3. ストルム・リューヴィル型固有値問題／4. ストルム・リューヴィル型境界値問題の解法
第7章 超関数
1. イントロダクション／2. テスト関数の空間D(RN)とD(Ω)／3. 超関数／4. 関数空間Wloc1,p(Ω)とW1,p(Ω)／5. 超関数の性質／6. 章末問題A／7. 章末問題B
第8章 偏微分方程式とその解について
1. 歴史的分類／2. 偏微分方程式とその解たち／3. 基本解とグリーン関数／4. 章末問題A／5. 章末問題B
第9章 基本解とグリーン関数の例
1. 基本解の例／2. グリーン関数の例
第10章 楕円型境界値問題への応用
1. 楕円型境界値問題の弱解の存在／2. ポワソン方程式の弱解の正則性
第11章 フーリエ変換の初等的偏微分方程式への適用例
1. 1階偏微分方程式の解法／2. 1次元拡散方程式／3. 1次元波動方程式／4. 半空間におけるラプラス方程式／5. 固有関数展開による解法／6. 線形化KdV方程式
第12章 変分問題
1. ガトー微分とフレシェ微分／2. 最適化問題とオイラー・ラグランジュ方程式／3. 条件付き最適化問題／4. 作用素方程式の変分法的解法／5. 変分不等式／6. 力学系の最適制御問題／7. 安定性の理論
第13章 ウェーブレット
1. 連続ウェーブレット変換／2. 離散ウェーブレット変換／3. 多重解像度解析とウェーブレットの直交基底／4. 研究：シャノン・システムのサンプリング理論への応用
エピローグ
略解とヒント
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